Borel 群胚作用的无点、非 Hausdorff 拓扑实现

我们在多个方向上推广了 Becker--Kechris 关于 Polish 群作用的拓扑实现与拓扑变换定理。对于 Polish 群作用，我们证明了一个单一结果，它蕴含原始的 Becker--Kechris 定理，以及 Sami 和 Hjorth 针对 Borel 层次按层 sharpen 的改进；经由同胚的 Borel 作用的自动连续性；以及“潜在开”与“轨道wise 开”Borel 集的等价性。我们还刻画了“潜在开”的 $n$ 元关系，从而得到不变 Borel 一阶结构的拓扑实现定理。随后我们推广到群胚作用，并证明了一个结果，它囊括了 Lupini 关于开 Polish 群胚的 Becker--Kechris 型定理（新近适配于 Borel 层次），以及对纤维wise 拓扑丛和一阶结构丛上作用的拓扑实现。即便在 Polish 群的经典情形中，我们的证明方法也是新的，且完全基于范畴量词的的形式代数性质；特别地，我们未使用可度量性或强 Choquet 博弈。因此，我们的证明在非 Hausdorff 情形下同样适用，对开拟-Polish 群胚成立，更一般地，在无点情形下对开 localic 群胚也成立。