强子群递归与 Nevo-Stuck-Zimmer 定理

设 $\Gamma$ 为可数群，$\mathrm{Sub}(\Gamma)$ 为其 Chabauty 空间，即由 $\Gamma$ 的所有子群构成的紧 $\Gamma$-空间。若对每一个 $\gamma \in \Gamma$，存在子列 $\{n_i \} \subset \mathbb{N}$ 使得 $\gamma^{n_i} \Delta \gamma^{-n_i} \rightarrow \Delta$，则称子群 $\Delta \in \mathrm{Sub}(\Gamma)$ 为回飞棒子群。Poincar\'{e} 递归意味着：对 $\Gamma$ 的每一个不变随机子群 $\mu$，$\mu$-几乎每一个 $\Gamma$ 的子群都是回飞棒。我们为回飞棒子群建立了许多与密度相关的性质，其中大多数已知对不变随机子群几乎必然成立。设 $\mathbb{K}$ 为一个数域，$O$ 为其整数环，$S$ 为一个包含全部阿基米德赋值的有限赋值集，$\mathbb{G}$ 为定义在 $\mathbb{K}$ 上的绝对几乎单群。我们的主要结果是：若 $\mathrm{rk}_{\mathbb{K}} \mathbb{G} \ge 2$，则任何与 $S$-算术群 $\mathbb{G}(O_S)$ 可公度的 $\Gamma$ 只有极少的回飞棒子群。即，$\Gamma$ 中的每一个回飞棒要么有限且中心，要么具有有限指数。特别地，我们由此重新得到了 Margulis 正规子群定理以及针对此类格的 Nevo-Stuck-Zimmer 定理。我们给出了当 $\Gamma$ 与 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Z}), \ n \ge 3$ 可公度时上述定理的一个简短且易读的证明。