强相对性质 $(T)$ 与随机游走的谱隙

我们考虑对 $(\Ga, G)$ 的强相对性质 $(T)$，其中 $\Ga$ 作用于 $G$。若 $N$ 是连通 Lie 群且 $\Ga$ 是 $N$ 的自同构群，我们选取 $\Ga$ 的一个有限指标子群 $\Ga ^0$，并在 $\Ga$ 的 Zariski 闭包无正维数紧因子的条件下，得到 $(\Ga, [\Ga ^0, N])$ 具有强相对性质 $(T)$。我们应用此结果得到以下结论：设 $G$ 为连通 Lie 群，具有可解根 $R$ 和半单 Levi 子群 $S$。若 $S_{nc}$ 表示 $S$ 的非紧单因子之积，$S_T$ 表示 $S_{nc}$ 中具有性质 $(T)$ 的单因子之积，则我们证明，对于 $S_{nc}$ 的 Zariski 稠密闭子群，$(\Ga, R)$ 具有强相对性质 $(T)$ 当且仅当 $R=[S_{nc},R]$。$N$ 为向量群的情况单独讨论，并证明了一些有趣的结果。我们还考虑了在螺线管 $K$ 上的作用，并证明了若 $\Ga$ 作用于螺线管 $K$，则在 $\Ga$ 的某些条件下 $(\Ga, K)$ 具有强相对性质 $(T)$。对于螺线管上的作用，我们以顺从性和强相对性质 $(T)$ 的形式提供了一些替代方案。我们还提供了一些关于 $\pi (\mu)=\int \pi (g) d\mu (g)$ 谱隙的应用，其中 $\pi$ 是某一酉表示，$\mu$ 是概率测度。