Hindman 定理高阶类比的强失效

我们证明了当试图获得不可数单色集时，Hindman 定理的各类高阶类比以强意义失效：定理 1：存在一个着色 $c:\mathbb R\rightarrow\mathbb Q$，使得对任意满足 $|X|=|\mathbb R|$ 的 $X\subseteq\mathbb R$ 和任意颜色 $\gamma\in\mathbb Q$，存在 $X$ 中两个不同元素 $x_0,x_1$ 满足 $c(x_0+x_1)=\gamma$。这同时推广了 Hindman、Leader 与 Strauss 的一个定理以及 Galvin 与 Shelah 的一个定理。定理 2：对任意阿贝尔群 $G$，存在一个着色 $c:G\rightarrow\mathbb Q$，使得对任意不可数 $X\subseteq G$ 和任意颜色 $\gamma$，对某个足够大的整数 $n$，存在 $X$ 中两两不同的元素 $x_0,\ldots,x_n$ 满足 $c(x_0+\cdots+x_n)=\gamma$。此外，将颜色集从 $\mathbb Q$ 扩大到 $\mathbb R$ 后，上述命题依然成立是相容的。定理 3：令 $\circledast_\kappa$ 表示：对任意基数为 $\kappa$ 的阿贝尔群 $G$，存在一个着色 $c:G\rightarrow G$，使得对任意正整数 $n$、任意 $X_0,\ldots,X_n\in[G]^\kappa$ 和任意 $\gamma\in G$，存在 $x_0\in X_0,\ldots,x_n\in X_n$ 满足 $c(x_0+\cdots+x_n)=\gamma$。则 $\circledast_\kappa$ 对无界多个不可数基数 $\kappa$ 成立，且 $\circledast_\kappa$ 对所有正则不可数基数 $\kappa$ 成立是相容的。