字符串匹配与一维晶格气体

我们计算了在长度为k的随机字符串中，给定长度为l的单词出现次数n的概率分布。对于渐近区域（i）$k \gg r^l \gg 1$（高斯分布）和$k,l \to \infty$使得$k/r^l$有限（复合泊松分布），解析表达式已知。然而，已知这些分布在中介区域$k \gtrsim r^l \gtrsim 1$中效果不佳。我们表明，计算字符串匹配概率的问题可以转化为确定具有相互作用粒子的一维晶格气体的构型配分函数，使得匹配概率成为晶格气体的巨配分函数之和，粒子数对应于匹配数。我们对有效状态方程进行了维里展开，并获得了概率分布。我们的结果在所有区域都再现了分布的行为。我们还能够解析地展示极限分布是如何产生的。我们的分析基于粒子之间的有效相互作用由一个大小为l（单词长度）的相对较强的核心，随后是弱指数衰减尾部组成。我们发现渐近区域对应于相互作用的尾部可以忽略的情况，而在中介区域则需要保留它们。我们的结果很容易推广到随机字符串由更复杂的随机过程生成的情况，例如非均匀字母概率分布或马尔可夫链。我们表明，在这些情况下，有效相互作用的尾部可能变得更加主导，从而使渐近近似在该区域中变得不那么准确。