一维盒子中有限尺寸硬核相互作用粒子的扩散——标记粒子动力学

我们精确求解了一个非平衡统计力学问题，即$N$个大小为$\Delta$的硬核相互作用粒子（粒子不能相互穿过）在两端具有反射边界的有限长度$L$的一维系统中进行单列扩散的动力学。我们得到了标记粒子$T$（$T=1,\ldots,N$）在时间$t$位于位置$y_T$的条件概率密度函数$P_T(y_T,t|y_{T,0})$的精确表达式，给定其在$t=0$时位于位置$y_{T,0}$。超越以往研究，我们使用一种非标准渐近技术，考虑了$L$有限时$N$大的渐近极限。我们推导了大致位于系统中间的标记粒子的$P_T(y_T,t|y_{T,0})$的精确表达式，由此发现有限尺寸系统存在三个感兴趣的时间区间：(A) 对于远小于碰撞时间$t\ll t_{\text{coll}}=1/(\rho^2D)$的时间，其中$\rho=N/L$是粒子浓度，$D$是每个粒子的扩散常数，标记粒子经历正常扩散；(B) 对于远大于碰撞时间$t\gg t_{\text{coll}}$但小于平衡时间$t\ll t_{\text{eq}}=L^2/D$的时间，我们发现一个单列区间，其中$P_T(y_T,t|y_{T,0})$是一个高斯分布，均方位移按$t^{1/2}$标度；(C) 对于长于平衡时间$t\gg t_{\text{eq}}$，$P_T(y_T,t|y_{T,0})$趋近于一个多项式型的平衡概率密度函数。