具有 {\em q}--高斯分布作为 $N\to \infty$ 极限分布的 $N$ 个相关二元随机变量的严格及渐近标度不变概率模型

为了从物理上阐明 {\it $q$--独立性} 与 {\it 标度不变性} 之间的关系，我们引入了三种具有二元随机变量的渐近标度不变概率模型，即：(i) 一个由指数 $\nu=1,2,3,...$ 表征的族，统一了莱布尼茨三角形 ($\nu=1$) 和独立变量情形 ($\nu\to\infty$)；(ii) 两种略有不同的 $q$--高斯分布离散化形式；(iii) 一个由参数 $\chi$ 表征的特殊族，推广了通常的独立变量情形（当 $\chi=1/2$ 时恢复）。模型 (i) 和 (iii) 实际上是严格标度不变的。对于模型 (i)，我们解析地证明了 $N \to\infty$ 概率分布是一个 $q=(\nu -2)/(\nu-1)$ 的 $q$--高斯分布。模型 (ii) 通过构造逼近 $q$--高斯分布，且我们通过数值模拟表明它们是以渐近标度不变的方式做到这一点的。模型 (iii) 与 Hilhorst 和 Schehr (2007) 最近讨论的另外两个严格标度不变模型类似，其逼近的极限分布 {\it 不是} $q$--高斯分布。由此浮现的情景是：渐近（甚至严格）标度不变性对于拥有严格（或渐近）$q$--独立性而言并不充分，但可能是必要的，而后者又规定了 $q$--高斯吸引子。