具边界流形上梯度流的分层凸性与凹性

正如 Morse \cite{Mo} 所观察到的，任何定义在具边界的紧致光滑流形 $X$ 上的泛型向量场 $v$，都会诱导边界 $\d X$ 的一个分层结构，该结构由紧致子流形 $\{\d_j^\pm X(v)\}_{1 \leq j \leq \dim(X)}$ 组成，其中 $\textup{codim}(\d_j^\pm X(v))= j$。我们的主要发现是，这一分层结构反映了边界 $\d X$ 相对于 $v$-流的分层凸性/凹性。我们研究了该分层结构在向量场 $v$ 变形下的行为。我们还探讨了存在凸/凹遍历 $v$-流对流形 $X$ 拓扑结构所施加的限制。设 $v_1$ 为 $v$ 在 $\d X$ 切丛上的正交投影。我们将边界上 $v_1$-流的动力学性质与 $v$ 在 $X$ 中的凸/凹性质联系起来。这种联系是我们称之为“遍历场的全息性”这一更普遍现象的一个实例，该主题将在后续论文中讨论。