Morse 分层的凸性以及 3-流形的梯度脊

我们注意到，在带边界的紧 3-流形 $X$ 上，一个一般的非奇异梯度场 $v = \nabla f$ 典范地生成 $X$ 的一个简单脊 $K(f, v)$。我们研究由数据 $(f, v)$ 的形变所诱导的 $K(f, v)$ 的变换。我们将 $X$ 的 Matveev 复杂度 $c(X)$ 与计数 $v$-流的\emph{双切}轨道（即在一对不同点处与边界 $\d X$ 相切的轨道）相联系。令 $gc(X)$ 为这类轨道的最小数目，最小值取遍所有非奇异的 $v$。我们称 $gc(X)$ 为 $X$ 的\emph{梯度复杂度}。进而，我们证明若 $X$ 是不可约且无本质边界环、无本质环面的，则具有有界梯度复杂度的 $X$ 只有有限多个。特别地，具有有界 $gc(X)$ 的双曲流形 $X$ 只有有限多个。对此类 $X$，其归一化双曲体积给出 $gc(X)$ 的一个上界。若一个不可约且无本质边界环、无本质环面的 $X$ 容许一个无双切轨道的非奇异梯度流，则 $X$ 是一个标准球。本文所有这些及许多其他结果都依赖于对相对于 $v$-流的 $\d X$ 的分层几何的细致研究。它由 $\d X$ 相对于一般流 $v$ 不\emph{凸}这一性质所刻画。结果表明，凸性或非凸性对 $X$ 的拓扑有深远影响。本文关注于 $\d X$ 相对于任何梯度类流的内在凹性与 $X$ 的复杂度之间的这一相互作用。