Hadamard流中的广义梯度流与纠缠多面体上的凸优化

本文致力于解决在Hadamard流${\cal M}$上最小化$Q(df_x)$的优化问题，其中$f$为${\cal M}$上的凸函数，$df_x$为$f$在$x \in {\cal M}$处的微分，$Q$为${\cal M}$余切包络上的函数。该问题推广了Hirai和Sakabe在FOCS2024上研究的在${\cal M}$上最小化梯度范数$\|\nabla f(x)\|$的问题。我们依据凸性和平行运输不变性，对$Q$的自然类进行了形式化建模，并引入了一种预期最小化$Q(df_x)$的梯度流的推广。对于包括正定矩阵流的乘积等基本类流，我们证明该梯度流在极限下可达到$\inf_{x\in {\cal M}} Q(df_x)$，并产生一种对偶关系。该结果被应用于GL作用于张量的Kempf-Ness优化，即已知为纠缠多面体上的欧几里得凸优化。此类凸优化来源于理论计算机科学中的张量相关问题，如量子函数、$G$稳定秩和非交换秩。