Hadamard 流形上无界凸函数的梯度下降及其在缩放问题中的应用

在本文中，我们研究了 Hadamard 流形 $M$ 上“下无界”凸函数 $f$ 的连续和离散时间梯度流的渐近行为，特别是它们向 $M$ 在无穷远处的边界 $M^{\infty}$ 的收敛性质。我们建立了一个对偶定理：只要下确界为正，则 $f$ 的梯度范数 $\|\nabla f(x)\|$ 在 $M$ 上的下确界等于 $f$ 的衰退函数 $f^{\infty}$ 的负值在边界 $M^{\infty}$ 上的上确界。此外，下确界和上确界由 $f$ 的梯度流的极限获得。我们的结果体现了 Georgoulas、Robbin 和 Salamon 关于约化群作用的矩-权不等式的凸优化成分，并应用于 B"urgisser 等人在 FOCS 2019 上的非交换优化。我们证明，对于不稳定轨道，Kempf-Ness 函数的梯度下降收敛到 Hilbert-Mumford 准则中的一个破坏性 1-参数子群，并且相关的矩映射序列收敛到矩多面体的最小范数点。我们展示了算子缩放——矩阵元组 $A= (A_1,A_2,\ldots,A_N)$ 上的左右作用——的进一步改进。我们通过经典 Dulmage-Mendelsohn 二分图分解的向量空间推广来刻画算子缩放的梯度流极限。对于 $N = 2$ 的特殊情况，我们揭示了该极限决定了矩阵束 $s A_1+A_2$ 的 Kronecker 标准形。