等变球面谱的自由 $\mathbb{F}_p$-模中的 Steinberg 直和项

设 $G$ 为一个有限 $p$-群。常值 Mackey 函子 $\underline{\mathbb{F}}_p$ 的 Eilenberg-Maclane 谱记为 $H\underline{\mathbb{F}}_p$，它由 $G$-等变球面谱上的自由 $\mathbb{F}_p$-模给出模型。借助此构造，可得一个“字长”滤子 $\{(H\underline{\mathbb{F}}_p)_n\}_{n\ge 1}$。我们的主要定理是：第 $k$ 层 $(H\underline{\mathbb{F}}_p)_{p^k}/(H\underline{\mathbb{F}}_p)_{p^{k-1}}$ 在 $p$-局部等价于 $(\mathbb{Z}/p)^k$ 的 $G$-等变分类空间的 Steinberg 直和项的 $k$ 重悬垂。这是对 [21] 主要结果的推广。我们还证明，当将此滤子与 $H\underline{\mathbb{F}}_p$ 作 smash 积时，该滤子分裂为其各层。本工作的未来目标是通过等变分类空间的显式胞腔构造，计算当 $p>2$ 时的 $C_p$-等变对偶 Steenrod 代数 $H\underline{\mathbb{F}}_p\wedge H\underline{\mathbb{F}}_p$。