$G$-正态分布的Stein型刻画

本文给出了$G$-正态分布的一种Stein型刻画：设$\mathcal{N}[\varphi]=\max_{\mu\in\Theta}\mu[\varphi],\ \varphi\in C_{b,Lip}(\mathbb{R}),$为次线性期望。$\mathcal{N}$是$G$-正态的当且仅当对任意$\varphi\in C_b^2(\mathbb{R})$，有$$\int_\mathbb{R}[\frac{x}{2}\varphi'(x)-G(\varphi"(x))]\mu^\varphi(dx)=0,$$其中$\mu^\varphi$为与$\mathcal{N}$相关的$\varphi$的一个实现，即$\mu^\varphi\in \Theta$且$\mu^\varphi[\varphi]=\mathcal{N}[\varphi]$。