循径而行：在点云定义的黎曼流形上定位动力系统的平衡点

我们提出一种在黎曼流形上依次定位动力系统平衡点（稳态）的方法。这些流形无需由先验已知的图册或光滑映射的零点来刻画，而是可由点云定义，并通过迭代过程按需采样。若流形为欧氏空间，我们的方法沿等倾线（isoclines，即向量场 $X$ 方向恒定的曲线）行进。对于一般向量场 $X$，等倾线是光滑曲线，且每个平衡点都位于等倾线上。我们通过平行输运将等倾线推广到黎曼流形：广义等倾线是其上 $X$ 的方向互为平行输运的曲线。如同欧氏情形，一般向量场 $X$ 的广义等倾线是连接 $X$ 的平衡点的光滑曲线。当流形未知时，我们的算法可视为牛顿轨迹方法在流形设定下的推广。本工作受计算统计力学驱动，具体而言是高维（随机）微分方程所刻画的分子系统动力学。这类动力学常集中于低维流形附近，并在亚稳平衡点之间存在跃迁（具单一不稳定方向的鞍点）。我们利用迭代采样数据与等倾线来定位这些鞍点。将黑盒采样方案（如马尔可夫链蒙特卡洛）与流形学习技术（此处采用扩散映射）相结合，我们展示了该方法能可靠地定位 $X$ 的平衡点。