流形上的稳定机器人运动：学习 Lyapunov 约束的神经流形 ODE

从数据中学习稳定的动力系统对于安全可靠的机器人运动规划与控制至关重要。然而，将稳定性保证扩展到由黎曼流形定义的轨迹面临重大挑战，主要源于流形的几何约束。为解决这一问题，我们提出了一种在黎曼流形上学习稳定动力系统的通用框架，利用神经常微分方程。我们的方法通过将流形上演化的神经向量场投影，使其严格满足 Lyapunov 稳定性准则，从而确保在每个系统状态下的稳定性。通过对基向量场和 Lyapunov 函数均采用灵活的神经参数化，我们的框架能够准确表示复杂轨迹，同时通过直接在流形上演化解来尊重流形约束。我们提供了一种高效的训练策略以应用本框架，并通过在单位四元数（$S^3$）和对称正定矩阵流形上的 Riemannian LASA 数据集，以及在 $\mathbb{R}^3 \times S^3$ 上演化的机器人运动来展示其效用。我们通过广泛的仿真以及真实世界实验中的机器人运动学习，展示了本方法的性能、可扩展性与实际适用性。