具有随机边权的复杂网络中最短路径的稳定性

我们研究了具有随机边权的复杂网络的最短路径与生成树。在网络中的输运过程中，不属于生成树的边处于非活跃状态。引入淬火无序会改变生成树，使得部分边被激活且网络直径增大。通过解析随机游走映射与数值分析，我们发现生成树对无序的引入是不稳定的，并在零无序强度 $\epsilon=0$ 处表现出类似相变的行为。在无限网络尺寸极限（$N\to \infty$）下，对于规则网络，我们得到一个连续相变，其中激活边密度 $\Phi$ 以 $\Phi \sim \epsilon^1$ 增长，直径膨胀系数 $\Upsilon$ 以 $\Upsilon\sim \epsilon^2$ 增长；而对于小世界（SW）网络和 Barabási-Albert 无标度（SF）网络，在 $\epsilon=0$ 处发生 $\Phi$ 和 $\Upsilon$ 不连续跳跃的一阶相变。渐近标度行为在 $N\gg N_c$ 时成立，其中交叉尺寸的标度为：规则网络 $N_c\sim \epsilon^{-2}$，SW 网络 $N_c \sim \exp[\alpha \epsilon^{-2}]$，SF 网络 $N_c \sim \exp[\alpha |\ln \epsilon| \epsilon^{-2}]$。在 $N\ll N_c$ 的瞬态区域中，SW 网络和 SF 网络分别发生无穷阶相变，满足 $\Phi\sim \Upsilon \sim \exp[-\alpha / (\epsilon^2 \ln N)]$ 和 $\sim \exp[ -\alpha / (\epsilon^2 \ln N/\ln\ln N)]$。这表明输运模式在 SF 网络中实际上最为稳定。