扰动下最近中心分配诱导划分的稳定性

我们通过聚类在有限标记集 $[n]=\{1,\dots,n\}$ 上诱导的划分来研究聚类，并分析这些划分在点配置 $X=(x_1,\dots,x_n)\in(\mathbb{R}^d)^n$ 的扰动下如何变化。我们为划分空间 $\Pi_n$ 配备了归一化成对分歧度量 $d(\cdot,\cdot)$，并定义稳定性半径 $r(X,A)=\sup\{\varepsilon\ge0: A(X')=A(X)$ 每当 $|X-X'|\|\le\varepsilon\}$，其中 $\|X-X'\|=\max_i\|x_i-x'_i\|$。我们的主要结果涉及具有固定中心 $\{c_1,\dots,c_k\}\subset\mathbb{R}^d$ 的最近中心分配。对于每个点，我们定义间隔 $\gamma_i=\min_{j\ne\ell_i}(\|x_i-c_j\|-\|x_i-c_{\ell_i}\|)$ 和 $\gamma_{\min}=\min_i\gamma_i$，其中 $\ell_i$ 表示分配的中心。我们证明，如果 $\varepsilon<\gamma_{\min}/2$，则在扰动下没有分配发生改变，因此 $A(X')=A(X)$。反之，任何改变其分配中心的点必须满足 $\gamma_i\le2\varepsilon$，这表明不稳定性局部集中在决策边界附近。我们构造了任意小的扰动 $\|X-X'\|\le\varepsilon$ 即可改变诱导划分的配置，证明间隔条件是稳定性的充分但非必要条件。我们进一步将该框架扩展到离散时间设定，证明如果 $\sum_t \delta_t<r(X(0),A)$，则 $A(X(t))=A(X(0))$，并且给出了 $\mathbb{E}[d(A(X),A(X'))]$ 关于 $\gamma_i$ 尾部概率的概率界。该框架将间隔确定为控制最坏情况和平均稳定性的关键量，并提供了在固定中心欧几里得模型中聚类诱导划分保持不变的显式条件。