Hardy 类解析函数的稳定性与同一性

设 $E$ 为复平面 $\CC$ 中单位圆盘 $U$ 的子集。回顾 $H^p(U)$ 是所有在 $U$ 上满足 $\|g\|_{H^p}$ $<$ $\infty$ 的全纯函数 $g$ 构成的空间。对 $(0,1)$ 中的正数 $\epsilon$ 与 $R$，令 \begin{equation} C_p(\epsilon, R) = \sup \{\sup_{|z| \leq R}|g(z)|: g\in H^p, \|g\|_p\leq 1, |g(\zeta)| \leq \epsilon \forall \zeta\in E\}, \end{equation} 可以看出 $C_p(\epsilon, R)$ 由上界 $(1-R^2)^{-1/p}$ 所控制。\begin{theorem} 若 $\bar E$ $\subset$ $U$，则存在 $\epsilon_0>0$，使得对 $0<\epsilon <\epsilon_0$ 相应地存在一个零点均在 $\bar E$ 中的有限 Blaschke 乘积 $B_{\epsilon}(z)$ 满足 \begin{eqnarray*} \max_{|z|\leq R}|B_\epsilon (z)|\leq C_p(\epsilon, R)\leq C\max_{|z|\leq R}|B_\epsilon (z)|^{1/2}, \end{eqnarray*} 其中 $C$ 是只依赖于 $R$ 与 $p$ 的正常数。此外我们有 \begin{eqnarray*} \sup_{z\in E}|B_{\epsilon}(z)|\leq \epsilon. \end{eqnarray*} \end{theorem}