压扁的 7 维球面、八元数与沼泽地

最近在 [1 - 4] 中推导出了出现在十一维超引力的 Freund-Rubin 紧致化中的压扁 $S^7$ 上算符的完整本征值谱。这里我们简要介绍这项工作，该工作始于 [1]，其中为压扁 $S^7$ 紧致化推导出了 $AdS_4$ 中场不可约等距表示的完整谱。算符谱决定了 $AdS_4$ 中场的质量谱，并且对于相应的 $\mathcal{N} =1$ 超多重态结构很重要，该结构根据边界条件的选择以两种版本出现。通过压扁 $S^7$ 上的方向翻转，我们还可以确定相应的非超对称理论的谱，例如，其在 $AdS_4$ 边界上的边际算符谱，这可能与沼泽地计划中的 $AdS$ 稳定性猜想有一定关联。讨论了单态子的作用，并提出了一种可能的将其转化为体场的新 Higgsing 现象。这里主要给出了 2-形式的细节，并评论了 $G_2$ 和八元数对于压扁 $S^7$ 上算符方程和模式函数结构的关键作用。这些改进方法的一些重要特征在 Joel Karlsson 2021 年的硕士论文 [5] 中获得。这是作者对 2024 年 7 月 1 日至 5 日在捷克共和国布拉格举行的 ISQS28 会议论文集贡献的扩展版本。