贝叶斯网络的平方Hellinger次可加性及其在恒等检验中的应用

我们证明了同一有向图 $G$ 上的两个贝叶斯网络之间的平方Hellinger距离相对于 $G$ 的邻域是次可加的。即,如果 $P$ 和 $Q$ 是由同一DAG上两个贝叶斯网络定义的概率分布,我们的不等式表明 $P$ 和 $Q$ 之间的平方Hellinger距离 $H^2(P,Q)$ 以 $P$ 和 $Q$ 在DAG中每个节点 $v$ 及其父节点 $\Pi_v$ 上的边缘分布的平方Hellinger距离之和 $\sum_v H^2(P_{\{v\} \cup \Pi_v}, Q_{\{v\} \cup \Pi_v})$ 为上界。重要的是,我们的界不涉及条件分布,而是涉及 $P$ 和 $Q$ 的边缘分布。我们针对更一般的马尔可夫随机场推导了类似的不等式。作为我们不等式的应用,我们表明,区分同一(但可能未知)DAG上的两个贝叶斯网络 $P$ 和 $Q$ 是满足 $P=Q$ 还是 $d_{\rm TV}(P,Q)>\epsilon$ 可以通过 $\tilde{O}(|\Sigma|^{3/4(d+1)} \cdot n/\epsilon^2)$ 个样本完成,其中 $d$ 是DAG的最大入度,$\Sigma$ 是贝叶斯网络每个变量的定义域。如果 $P$ 和 $Q$ 定义在可能不同且可能未知的树上,样本复杂度变为 $\tilde{O}(|\Sigma|^{4.5} n/\epsilon^2)$,其对 $n, \epsilon$ 的依赖性在对数因子意义上是最优的。最后,如果 $P$ 和 $Q$ 是 $\{0,1\}^n$ 上的乘积分布且 $Q$ 已知,样本复杂度变为 $O(\sqrt{n}/\epsilon^2)$,这在常数因子意义上是最优的。