Sperner 着色与单形的最优划分

我们讨论与 Sperner 引理相关的着色与划分问题，其最初源于近似困难性中的一个应用。非正式地，若将 $(k-1)$ 维单形划分为 $k$ 个部分，或用 $k$ 种颜色对单形内部的格点进行标记，且若颜色 $i$ 避开与顶点 $i$ 相对的面，则称其为“Sperner 可容的”。我们所研究的问题具有以下特征：何种 Sperner 可容的标记/划分能使不同颜色/部分之间边界的总面积尽可能小？首先，针对单形中“单元”的一种自然排布，我们证明了在任何 Sperner 可容标记中必定非单色的单元数量的最优下界。该下界可由一种简单标记达到，其中每个顶点被赋予最小可容颜色。其次，针对此排布，我们表明与 Sperner 引理相反，存在一种 Sperner 可容标记使得每个单元至多包含 $4$ 种颜色。最后，我们证明了第一个结果的几何变体：对于正则单形的任意 Sperner 可容划分，由至少两个不同部分共享的边界的总表面积由 Voronoi 划分 $(A^*_1,\ldots,A^*_k)$ 最小化，其中 $A^*_i$ 包含所有最接近顶点 $i$ 的点。我们还讨论了将此结果推广至一般多面体的一些可能扩展及若干开放问题。