典范系统的谱性质：特征值的离散性与分布

在这篇综述论文中，我们回顾了关于二维典范系统谱理论中某一主题的经典结果和最新进展。即，我们考虑谱σ是否离散，如果是，其密度如何。这里我们通过计数函数相对于适当比较函数的可积性或limsup条件意义上的增长来度量密度。这些问题已经存在多年。然而，完整的答案直到最近才获得——部分仍在未发表的工作中。我们度量特征值密度的方式必须与谱渐近明确区分，后者要求特征值的渐近展开。我们明确且有意不朝这个方向，也不呈现任何关于谱渐近的结果。我们将这篇综述理解为围绕最初陈述的问题的结果的聚焦展示，而不是对该领域相关文献的详尽说明。它不包含任何证明，但我们确实对证明方法进行了评论。我们呈现的定理非常多样化。它们依赖于算子理论、复分析和经典分析的不同方法，并优美地展现了这些领域之间的相互作用。除了解决该问题的基本定理和几个选定的补充外，我们决定纳入一些致力于雅可比矩阵谱理论的结果，换句话说，即汉堡矩问题。典范系统理论与矩问题之间的联系带来了重要的新见解，但似乎不如其他联系（例如与Krein-Feller或Schrödinger算子的联系）那样广为人知。我们从一般理论中汇编了所有必要的先决条件，以使论述尽可能自成体系。我们的目标是这篇综述能够被广泛的读者群体（包括非专业读者）阅读和欣赏。