一类具有两个奇异端点的典型系统的正逆谱定理

本文第一部分讨论二维典型系统 $y'(x)=zJH(x)y(x)$, $x\in(a,b)$, 其哈密顿量 $H$ 非负且局部可积, 并且在两个端点 $a$ 和 $b$ 处均出现 Weyl 极限点情形。我们研究一类由 $H$ 趋于 $a$ 时的增长限制所定义的此类系统。我们发展了与 Weyl 和 de Branges 关于在 $a$ 处为极限圆情形的系统理论平行的正逆谱理论。我们的方法经由——且依赖于——Pontryagin 空间理论。它依赖于此类空间中的谱理论和算子模型, 以及 de Branges Pontryagin 空间理论。关于正问题的主结果是: (1) 证明在 $a$ 处正则化边界值的存在性; (2) 构造奇异 Weyl 系数和标量谱测度; (3) 构造傅里叶变换并将其作用及其逆作用计算为积分变换。逆问题的主结果是: (4) 刻画通过上述构造得到的测度类 (在 $\pm\infty$ 处具有幂增长的正数 Borel 测度); (5) 全局唯一性定理 (若 Weyl 函数或谱测度重合, 则哈密顿量本质重合); (6) 局部唯一性定理。在本文第二部分, 将第一部分的结果应用于具有奇异系数的 Sturm--Liouville 方程。我们研究无势方程类 (特别是阻抗形式方程) 和 Schrödinger 方程, 其中系数被假定为奇异但受增长限制。我们得到相应的正逆谱定理。