对数凹性下 Metropolis-within-Gibbs 算法的谱间隙

Metropolis-within-Gibbs (MwG) 算法是一种广泛使用的马尔可夫链蒙特卡洛方法，用于在精确条件采样难以实现时从高维分布中采样。我们研究了使用随机游走 Metropolis (RWM) 更新的 MwG，其提议方差经过调整以匹配目标分布的条件方差。假设目标分布 $\pi$ 是一个 $d$ 维对数凹分布，条件数为 $\kappa$，我们为随机扫描版本的 MwG 建立了一个阶为 $\mathcal{O}(1/\kappa d)$ 的谱间隙下界，改进了先前可得的 $\mathcal{O}(1/\kappa^2 d)$ 界。这一结果是通过对一维 RWM 核的导率进行精确估计而获得的，这可能具有独立的研究意义。该结果表明，采用方差自适应提议的 MwG 可以显著加快混合速度，并且其混合性能仅比精确 Gibbs 采样器差一个常数因子，从而为先前观察到的经验行为提供了理论支持。