退化Kirchhoff方程的谱间隙全局解

我们考虑二阶柯西问题 $$u''+m(|A^{1/2}u|^2)Au=0, u(0)=u_{0}, u'(0)=u_{1},$$ 其中 $m:[0,+\infty)\to[0,+\infty)$ 是一个连续函数，$A$ 是希尔伯特空间上具有稠密定义域的自伴非负算子。众所周知，只要 $u_{0}$ 和 $u_{1}$ 足够正则（取决于 $m$ 的连续性模以及方程的严格/弱双曲性），该问题就存在局部时间解。我们证明，对于这样的初始数据 $(u_{0},u_{1})$，存在两对初始数据 $(\overline{u}_{0},\overline{u}_{1})$、$(\widehat{u}_{0},\widehat{u}_{1})$，使得解是全局的，并且满足 $u_{0}=\overline{u}_{0}+\widehat{u}_{0}$，$u_{1}=\overline{u}_{1}+\widehat{u}_{1}$。这是具有适当谱间隙的初始数据全局存在性的一个副产品，它扩展了之前在具有光滑非线性项 $m$ 的严格双曲情形下获得的结果。