扩散-反应系统中的时空记忆

我们考虑一个具有延迟的反应-扩散过程。最初浸没在陷阱中的粒子保持非活性，直到另一个粒子在某个点 $\vec x$ 以速率 $\lambda$ 自发湮灭。在这种情况下，以 $\vec x$ 为中心、半径 $R(t)= v t^{\alpha}$ 的球体内的陷阱将被激活，并以速率 $\mu$ 释放一个粒子。由于两种反应之间的竞争，系统演化出三个不同的时间区间。在初始时间区间内，扩散过程主导系统的行为，随后出现一个瞬态区间，其中系统表现出一种漂移波解，该解在 $v \to 0$ 时趋向于一个非平凡的稳态解。在该区间内，观察到浓度衰减非常缓慢。在最终的长时间区间内，观察到向指数衰减过程的交叉。在 $\lambda = \mu$ 的情况下，浓度是守恒量，而对于 $\mu > \lambda$，总粒子数在有限时间后趋于零。均方位移表现出反常扩散行为，其中动态指数由指数 $\alpha$ 决定。在一维情况下，该模型可以精确求解。在更高维度中，我们找到了与数值解非常吻合的近似解析结果。这种情况可应用于细菌菌落或基因库的发展。