圆环上被动与活性 Riesz 气体的时空涨落

我们考虑一个由 $N$ 个经典粒子组成的周期 Riesz 气体，位于圆环上，通过一个两体排斥势相互作用，该势在局部表现为距离的幂律 $\sim g/|x|^s$（$s > -1$）。长程（LR）相互作用对应 $s < 1$，短程（SR）相互作用对应 $s > 1$，而 $s = 0$ 和 $s = 2$ 分别描述著名的对数气体和 Calogero-Moser（CM）模型。我们研究粒子在等间距晶体构型周围的涨落，针对布朗粒子和翻滚粒子（RTP）均进行分析。聚焦于弱噪声区域，我们获得了 $N \gg 1$ 且在固定平均密度 $\rho$ 下的时空关联的精确表达式，涵盖宏观和微观尺度。这些关联由动力学指数 $z_s = \min(1+s, 2)$ 表征。我们还获得了间隙统计，由粗糙度指数 $\zeta_s = \frac{1}{2}\min(s,1)$ 描述。对于布朗情况下的 $s > 0$，我们发现在一个宽时间窗口内，粒子的均方位移在 SR 情况下表现为 $t^{1/2}$ 的次扩散（如同单文件扩散），在 LR 相互作用情况下表现为 $t^{s/(1+s)}$。值得注意的是，这与近期利用宏观涨落理论获得的一个预测完全一致，包括振幅。这些结果同样适用于时间尺度 $1/\gamma$ 之后的 RTP，其中 $\gamma$ 为翻滚率，以及特征长度尺度。相反，对于更短的时间或更短的距离，活性噪声导致了丰富的静态和动力学区域，具有不同的指数。对于 $-1 < s < 0$，位移是有界的，导致在弱噪声下出现真正的晶体有序性。最近数值上观测到的熔化转变在我们的计算结果的启发下进行了讨论。最后，我们将方法推广到活性 Dyson 布朗运动和活性 CM 模型在谐振子势阱中的情况，将我们早期工作中关于有限 $\gamma$ 的结果进行了推广。