实二次域几何不变量的稀疏等分布

Duke、Imamoğlu 和 Tóth 最近针对实二次域的每个窄理想类构造了一个新的几何不变量——双曲轨形，并证明了当实二次域的基本判别式 $D$ 趋于无穷时，这些双曲轨形在模曲面 $\Gamma \backslash \mathbb{H}$ 上的投影在窄类群的一个 genus 上平均等分布。我们将这种双曲轨形的构造推广到允许水平结构，类似于水平 $q$ 的 Heegner 点和闭测地线。此外，我们从几个方面改进了该等分布结果。首先，我们研究水平方面的稀疏等分布，证明了当限制于 $\Gamma_0(q) \backslash \mathbb{H}$ 中 $\Gamma \backslash \mathbb{H}$ 的一个平移时，水平 $q$ 双曲轨形的等分布，这呈现出一些新的有趣特征。其次，我们探讨子群方面的稀疏等分布，即窄类群小子群上的平均等分布。第三，我们证明小尺度等分布并给出偏差的上界。这些改进背后是对这些等分布问题中出现的 Weyl 和的新的解释，将其视为 adèlic 周期积分，而后者通过 Waldspurger 公式与 Rankin-Selberg $L$-函数相关联。剩余的关键输入是这些 $L$-函数的混合次凸界以及 sup-范数问题的某种同调版本。