时空量子？：单模环量子宇宙学中量子时空四维体积算子的离散谱

本研究在单模环量子宇宙学（Unimodular Loop Quantum Cosmology）框架下，针对具有平坦空间截面且无物质源的均匀各向同性模型，考虑对应于有限时空片经典时空四维体积$\tilde{T}$（在壳）的算子$\hat{T}$。由于时空四维体积与宇宙学“常数”正则共轭，算子$\hat{T}$通过求解其与$\hat{\Lambda}$——对应于经典宇宙学常数在壳值$\tilde{\Lambda}$的算子——的正则对易关系构造。这种共轭关系，加上$\hat{T}$作用于确定体积态约化为$\tilde{T}$，使我们可解释$\hat{T}$确为量子时空四维体积算子。通过考虑所有使本征值方程在$\hat{T}$定义域内有解$\Phi_{\tau}$的$\tau$的集合，计算$\hat{T}$的离散谱。结果表明，当赋予$\hat{T}$最大定义域 $D(\hat{T})$ 时，对所有$\tau\in\mathbb{C}$有$\Phi_{\tau}\in D(\hat{T})$，从而$\hat{T}$的谱纯离散且为整个复平面。还考虑了一族算子$\hat{T}^{(b_0,\phi_0)}$作为$\hat{T}$可能的自伴版本。它们表示$\hat{T}$在各自定义域 $D(\hat{T}^{(b_0,\phi_0)})$ 上的限制，这些定义域仅是带有附加准周期条件的最大定义域。它们可能的自伴性由其离散谱仅包含实数和离散数$\tau_m$（$m=0,\pm1,\pm2,...$）所启发。