关于 NATP 理论中的 Kim-分割的若干注记

在本注记中，我们证明在 NATP 理论中，基于模型的 Kim-分割总是由一个 coheir Morley 序列所见证。遵循 Chernikov 和 Kaplan [8] 的策略，我们得到了在 NATP 理论中成立的一些推论。即：(i) 若一个公式基于模型 Kim-分叉，则它在同一模型上拟分割；(ii) 对任意参数元组 $b$ 和模型 $M$，存在包含 $\text{tp}(b/M)$ 的全局 coheir $p$，使得对所有 $b'\models p|_{MB}$ 有 $B \ind^K_M b'$。我们还表明，对于 NATP 理论中的 coheir，在上述 (ii) 是 Kim-分割见证的必要条件（假设 Kim-分割的见证存在，见本注记定义 4.1）。亦即，若假设任意给定模型上总存在 Kim-分割的见证，则 coheir $p\supseteq \text{tp}(a/M)$ 只要作为 $a$ 基于模型 $M$ 的 Kim-分割见证，就必须满足 (ii)。我们还给出了借助预独立关系存在 Kim-分割见证的一个充分条件。文末，我们对 Mutchnik 近期的工作 [16] 作简短注记。我们指出 $\omega$-NDCTP$_2$ 理论类（NATP 理论类的子类）包含所有 NTP$_2$ 理论和 NSOP$_1$ 理论。我们还注意到，在 $\omega$-NDCTP$_2$ 理论中，基于模型的 Kim-分叉与 Kim-分割等价，其中 Kim-分割是相对于不变 Morley 序列定义的，而非如 [16] 中相对于 coheir Morley 序列。