Chan-Esedoglu L1TV 泛函极小元的一些性质

我们提出了两个刻画 Chan-Esedoglu L1TV 泛函 $F(u) \equiv \int |\nabla u | dx + \lambda \int |u - f| dx$ 极小元的结果，其中 $u,f:\Bbb{R}^n \to \Bbb{R}$。若限制 $u = \chi_{\Sigma}$ 且 $f = \chi_{\Omega}$，$\Sigma, \Omega \in \Bbb{R}^n$，则 $L^1$TV 泛函简化为 $E(\Sigma) = \Per(\Sigma) + \lambda |\Sigma\vartriangle \Omega |$。我们证明存在一个极小元 $\Sigma$，其边界 $\partial\Sigma$ 位于 $\Omega$ 内所有半径为 $\frac{n}{\lambda}$ 的球的并集与 $\Omega^c$ 中相应半径为 $\frac{n}{\lambda}$ 的球的并集之间。我们还证明，若半径为 $\frac{n}{\lambda} + \epsilon$ 的球几乎包含在 $\Omega$ 内，则可将一个稍小的同心球添加到 $\Sigma$ 中以获得另一个极小元。最后，我们评论了 Allard 近期关于 $L^1$TV 极小元的成果及其与本文结果的关系。