τ-倾斜理论的一些应用

设 $A$ 为代数闭域 $k$ 上的有限维代数，$M$ 为部分倾斜 $A$-模。我们证明 $M$ 的 Bongartz τ-倾斜补与其 Bongartz 补一致，进而给出每个几乎完全倾斜 $A$-模至多有两个补的新证明。设 $A=kQ$ 为路径代数。我们证明 $A$ 的支撑 τ-倾斜箭图 $\overrightarrow{Q}({\rm s}\tau$-${\rm tilt} A)$ 是连通的。作为一个应用，我们研究 Happel 与 Unger 在 [9] 中的猜想，该猜想声称倾斜箭图 $\overrightarrow{Q}({\rm tilt} A)$ 的每个连通分支仅包含有限多个非饱和顶点。我们证明该猜想对于 $Q$ 为所有 Dynkin 与 Euclidean 箭图以及具有二或三个顶点的野箭图时成立，并且给出一个例子表明若 $Q$ 为具有四个顶点的野箭图则该猜想不成立。