通过平稳作用量原理与最优控制求解波动方程两点边值问题

提出了一种求解波动方程两点边值问题的新方法。该新方法利用平稳作用量原理在最优控制框架下重新表述并求解此类问题。具体地，提出一个无限维最优控制问题，使得波动方程动力学和关注的时间边界数据分别通过相关哈密顿量的特征和终端代价的选取来捕获。为求解任意此类终端代价的最优控制问题，从而求解由该终端代价封装的边界数据对应的任意两点边值问题，构造了最优控制问题的基本解。具体而言，对应于任意给定终端代价的最优控制问题可通过该基本解与指定终端代价的极大代数卷积(max-plus convolution)求解。关键的是，基本解被证明是关于一组算子微分方程唯一解定义的二次泛函，并且可使用谱方法计算。给出了一个计算该基本解并应用于求解所关注波动方程两点边值问题的例子。