通过 Grothendieck 不等式求解同步与 MaxCut 问题的半定规划
最优化与控制
2017-03-31 v2 机器学习
摘要
许多统计估计问题可通过半定规划（SDP）来解决。虽然 SDP 可用内点法在多项式时间内求解，但在实践中，通用的 SDP 求解器难以扩展到高维问题。为应对这一问题，Burer 和 Monteiro 提出了一种非凸的秩约束形式，该形式在实践中表现良好，但其理论理解仍不充分。本文研究 MaxCut 和同步问题中产生的秩约束 SDP。我们建立了一个 Grothendieck 型不等式，证明所有局部极大值和危险鞍点与全局最大值之间仅存在一个小的乘性间隙。利用这一结构信息，我们证明，通过将秩约束为一阶，并对此非凸问题应用黎曼信赖域方法，可在已知精度内求解 SDP。对于 MaxCut 问题，我们的不等式表明，当秩固定为 k 时，秩约束 SDP 的任何局部极大化子都提供了 MaxCut 的 (1 - 1/(k-1)) × 0.878 近似。随后，我们将结果应用于根据高斯 Z_2 同步问题和大有界度两组随机块模型生成的数据矩阵。我们证明，局部极大化子所达到的误差，在与信息论最优方法相同的阈值处经历了一个相变。
引用
@article{arxiv.1703.08729,
title = {Solving SDPs for synchronization and MaxCut problems via the Grothendieck inequality},
author = {Song Mei and Theodor Misiakiewicz and Andrea Montanari and Roberto I. Oliveira},
journal= {arXiv preprint arXiv:1703.08729},
year = {2017}
}
备注
38 pages; 9 pdf figures