离散 Pompeiu 问题与有限 Steinhaus 铺砌问题的解

设 $K$ 为欧几里得空间 $\mathbb{R}^k$ $(k\ge 2)$ 的非空有限子集。我们证明，如果函数 $f\colon \mathbb{R}^k\to \mathbb{C}$ 满足在 $K$ 的每个合同副本上的和为零，则 $f$ 处处为零。事实上，我们证明了一个更强的加权版本。作为推论，我们发现 $\mathbb{R}^k$ 中任何至少包含两个元素的有限子集 $K$ 都是一个 Jackson 集；即，$\mathbb{R}^k$ 的任何子集都不可能恰好与 $K$ 的每个合同副本相交于一点。