$SO(5)$ Landau模型与$SO(4)$单极子背景下的4维量子霍尔效应

我们应用量子场论非线性实现的技术，研究$SO(4)$单极子规范场背景下的$SO(5)$ Landau问题。$SO(4)$单极子携带两个拓扑不变量：第二Chern数与广义Euler数，由$SU(2)$单极子与反单极子指标$I_+$和$I_-$指定。$SO(5)$ Landau问题的能级被分组为$\text{Min}(I_+, I_-) +1$个扇区，每个扇区包含Landau能级。在$n$扇区中，第$N$个Landau能级本征态构成$SO(5)$不可约表示$(p,q)_5=(N+I_+ + I_--n, N+n)_5$，其函数形式由$SO(5)$非线性实现矩阵得到。在$n=0$扇区中，最低Landau能级的涌现量子几何被识别为模糊四维球面，其半径正比于$I_+$与$I_-$之差。通过对由Slater行列式构成的多体波函数施加$SO(5)$最低Landau能级投影，构造了类Laughlin波函数。我们还分析了$SO(5)$ Landau模型的相对论版本，以展示$SO(4)$规范场构型中的Atiyah-Singer指标定理。