再探社会选择的平滑分析

社会选择中的一个典型问题是如何聚合排序投票：给定 n 个选民对 m 个候选人的排序，我们应使用何种投票规则 f 将这些选票聚合成单一胜者？比较投票规则的一种标准方法是通过它们对公理的满足程度——即我们希望“合理”规则满足的性质。遗憾的是，这种方法导致了若干不可能性：没有任何投票规则能同时满足我们想要的所有性质，至少在所有可能输入的最坏情况下如此。受此推动，我们考虑对这些最坏情况要求的放宽。我们使用社会选择的“平滑”模型来做到这一点，其中选票被叠加少量噪声扰动。如果无论我们从哪个输入轮廓出发，公理被满足的后验（加噪后）概率都很大，我们便将该公理视为实质上已满足——称为“平滑满足”——即便它在最坏情况下可能被违背。我们的模型是李荣霞（Lirong Xia）模型的一个温和限制，并与 Spielman 和 Teng 关于平滑分析原作中的模型紧密对应。迄今 Xia 已在多篇论文中针对此类噪声下的公理满足做了大量工作。在本文中，我们旨在就平滑分析何时对社会选择有用给出一个更具凝聚性的概览。在我们的模型内，我们给出若干先前未研究以及 Xia 所研究过的公理与悖论实现平滑满足或平滑违背的简单充分条件。接着我们观察到，在一类实际重要的噪声模型的子类中，尽管最终会发生收敛，已知速率可能需要极其大量的选民。受此推动，我们专门在该子类中的一个典型噪声模型——Mallows 模型——内证明界。在此，我们就平滑分析究竟何时能有所帮助给出了更为细致的图像。