压缩感知中的光滑化分析

我们展示了任意矩阵 $M \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 通过随机矩阵 $R \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 的加性扰动后，几乎必然满足所谓的鲁棒空集属性。虽然坚持保持实现唯一重构所需 $m$ 的最优数量级（通过 $\ell_1$ 最小化算法），我们的结果也跟踪了固定种子矩阵 $M$ 允许的任意性水平以及扰动矩阵 $R$ 条目所允许的分布不规则程度。 starting with sub-gaussian 条目 for $R$，我们的結果最终表明这些允许的条目具有远超亚指数分布的较重尾部。在此轨迹中，两个度量控制 $M$ 允许的任意性：第一个是 $\|M\|_\infty$，第二个是依赖于正在重建信号稀疏性的 $M$ 的局部化 Frobenius 范数。驱动我们证明的关键工具是 {\sl Mendelson's small-ball method}（《Learning without concentration》, J. ACM, Vol. $62$, $2015$）。