一维流的光滑时间

设 $\alpha$ 为一个无理数，$I$ 为 $\mathbb{R}$ 的一个区间。若 $\alpha$ 是丢番图的(Diophantine)，我们证明 $I$ 的任意单参数同胚群，若其 time-1 映射与 $\alpha$ 映射均为 $C^\infty$，则事实上是一个 $C^\infty$ 向量场的流。另一方面，若 $\alpha$ 是刘维尔(Liouville)数，我们构造了一个 $I$ 的单参数同胚群，其 time-1 映射与 $\alpha$ 映射均为 $C^\infty$，但它不是一个 $C^2$ 向量场的流（不过，若 $I$ 有边界，我们说明该假设迫使其为一个 $C^1$ 向量场的流）。我们将这两个结果推广到无理数族，此时关键的算术条件为同时的“丢番图性”。对于定义 $(\mathbb{R},+)$ 在 $I$ 上自由作用的单参数群，这些结果可由著名的圆微分同胚线性化定理得出。本工作的新颖性在于非自由作用的情形。