$p$-进 $\mathrm{GL}_n(\mathcal{D})$ 的光滑表示与 Hecke 代数

本文旨在解决的主要问题是：$p$-进群 $\mathrm{GL}_n(\mathcal{D})$ 的表示理论在多大程度上依赖于 $p$-进除代数 $\mathcal{D}$？设 $\mathcal{D}$ 为定义于某个局部紧非阿基米德局部域上的中心除代数。利用 Bushnell-Kutzko 的类型理论与 S\'echerre-Stevens 关于与类型相关的球面 Hecke 代数的分解，我们得到 $\mathrm{GL}_n(\mathcal{D})$ 的光滑复表示范畴 $\mathcal{R} \left( \mathrm{GL}_n(\mathcal{D}) \right)$ 在 Bernstein 分解中的尖块不依赖于 $p$-进除代数 $\mathcal{D}$。特别地，当 $n=1$ 或 $2$ 时，范畴 $\mathcal{R} \left( \mathrm{GL}_n(\mathcal{D}) \right)$ 不依赖于 $p$-进除代数 $\mathcal{D}$。