BPS 多中心黑洞的 Smarr 质量公式

本文给出了多中心 BPS 四维黑洞的质量公式。例如，双中心 BPS 解的 ADM 质量可与中心间距 $r$、角动量 $J^2$、双荷电荷矢量 $q_i$ 以及无穷远处标量模的值 ($z_\infty$) 通过下式关联：$M_{ADM}^2 =A\left (1+ \alpha J^2\left(1+\frac{2M_{ADM}}{r}+\frac{A}{r^2}\right)\right)$，其中 $A(Q),\alpha(q_i)$ 是辛不变量（$Q$ 为总电荷矢量），依赖于定义该理论的特殊几何前势。该公式预言了在固定电荷值下存在一类连续的黑洞，其间距 $r\in (0,\infty)$ 且 $M_{ADM}\in (\infty,M_\infty)$。由此得到包含中心间距的 Smarr 型表达式：$$dM\equiv\Omega d J+\Phi_i d q_i+ F dr,$$ 除有效角速度 $\Omega$ 与电磁势 $\Phi_i$ 外，该方程还允许定义一个作用于各中心之间的有效“力” $F$。该有效力恒为负：在无穷远处我们恢复熟悉的牛顿定律 $F\sim 1/r^2$，而在短距离处 $F\sim f_0+f_1/r^2$。类似结果可轻易推广至更一般的模型与更多中心数。