包含椭球p-和的最小椭球及其在可达性分析中的应用

我们研究了凸集值数据的椭球包围问题，其中凸集由有限多个椭球对于任意实数$p\geq 1$的$p$-和得到。$p$-和的概念出现在凸分析中的Brunn-Minkowski-Firey理论中，并推广了若干众所周知的集值运算，如求和凸集（此处为椭球）的闵可夫斯基和。我们推导了给定椭球集合的$p$-和的外椭球参数化，并针对两个最优性准则——最小迹和最小体积——计算了最紧的参数化。对于这样的最优参数化，系统控制文献中的若干已知结果作为我们一般公式的特例被恢复。对于最小体积准则，我们的分析导出了对一个标量的不动点递推，该标量参数化外椭球的形状矩阵。该递推被证明是压缩的，并且在实践中收敛很快。我们应用这些结果来计算线性控制系统在前述由变化$p\in[1,\infty]$生成的初始条件和控制的不同凸集值不确定性模型下的前向可达集。我们的数值结果表明，所提出的不动点算法在$p=1$时相比现有的半定规划方法在计算时间上实现了超过两个数量级的加速，且对数值精度无显著影响。对于$p>1$，此处报告的可达集计算结果是新颖的。我们的结果有望在实时安全关键应用中发挥作用，例如自动驾驶车辆的碰撞避免决策，其中可达集计算的时间尺度需远小于车辆动力学时间尺度。