Rough Heston 模型的小时间、大时间与 $H\to 0$ 渐近性

我们刻画了 Jaisson\&Rosenbaum \cite{JR16} 引入的 Rough Heston 模型在小时间、大时间以及 $\alpha \to 1/2$（即 $H\to 0$）极限下的行为。我们证明，短到期微笑的缩放方式在定性上与一般粗糙随机波动率模型相同（参见 \cite{FZ17}、\cite{FGP18a} 等），且速率函数等于同一 Volterra 积分方程（VIE，见于 \cite{ER19}）解的一个简单变换的 Fenchel-Legendre 变换，但去除了漂移项与均值回复项。该 VIE 的解满足时空缩放性质，这意味着我们只需对 $p=1$ 与 $p=-1$ 的矩值求解此方程，因此速率函数可使用 Adams 格式或幂级数高效计算，并且我们计算了渐近隐含波动率关于对数moneyness变量的幂级数，从而得到隐含波动率偏度与凸度的易处理表达式。大到期 regime 下的极限渐近微笑通过 VIE 不动点的稳定性分析获得，并与 \cite{FJ11} 中标准 Heston 模型相同。最后，利用 L\'{e}vy 收敛定理，我们证明当 $\alpha \to 1/2$（即 $H\to 0$）时，对数股价 $X_t$ 弱收敛于非对称随机变量 $X^{(1/2)}_t$，其矩母函数也是 $\alpha=1/2$ 时 Rough Heston VIE 的解，并且我们证明当 $t\to 0$ 时 $X^{(1/2)}_t/\sqrt{t}$ 弱收敛于一个非对称随机变量，这导致 Edgeworth regime 下非平坦非对称的渐近微笑。我们还证明对数股价的第三矩当 $H\to 0$ 时趋于有限常数（不同于 \cite{FFGS20} 中讨论的 Rough Bergomi 模型，其偏度变平或发散），且 $V$ 过程在路径空间上收敛于随机 tempered 分布。