Heston模型中精细波动率微笑展开

已知Heston随机波动率模型存在矩爆炸，且临界矩$s_+$可通过（数值）求解一个简单方程得到。这给出了大行权价处隐含波动率的主阶展开：$\sigma_{BS}( k,T)^{2}T\sim \Psi (s_+-1) \times k$（Roger Lee矩公式）。受近期对该矩公式的“尾翼”修正的启发，我们首先推导了Heston密度的一个新尾部分布展开，改进了Dragulescu和Yakovenko [Quant. Finance 2, 6 (2002), 443--453]的先前工作，然后证明了形如$\sigma_{BS}( k,T) ^{2}T=( \beta_{1}k^{1/2}+\beta_{2}+...)^{2}$的精细展开的有效性，其中所有常数均明确表示为$s_+$、Heston模型参数、即期波动率和到期时间$T$的函数。对于“零相关”Heston模型，Gulisashvili和Stein [Appl. Math. Optim. 61, 3 (2010), 287--315]曾推导出此类展开。我们的方法和结果可能对Heston模型之外的情况也有用：整个定量分析基于仿射原理；我们无需知道$\log S_{T}$傅里叶变换（等价地：$S_{T}$的梅林变换）的显式（但繁琐）闭式表达式；重要的是这些变换满足Riccati型常微分方程。其次，我们的分析揭示了一个新参数（“临界斜率”），它以模型无关的方式定义，并驱动尾部分布和隐含波动率展开中的二阶及更高阶项。