ADO-Heston 模型中的 ATM 隐含偏度

本文类似于 [P. Carr, A. Itkin, 2019]，构造了粗糙 Heston 类波动率模型的另一马尔可夫近似——ADO-Heston 模型。在风险中性测度与真实测度下推导了模型的特征函数（CF），其为一个非定常三维偏微分方程（PDE），部分系数为时间 $t$ 与 Hurst 指数 $H$ 的函数。为复现市场隐含偏度的已知行为，我们通过对市场风险价格进行明智选择，进而求得对数价格 CF 与 ATM 隐含偏度的闭式表达式。基于所给示例，我们断言 ADO-Heston 模型（其为纯扩散模型，但具有方差过程的随机均值回复速度，或粗糙 Heston 模型的马尔可夫近似）能够（近似）复现小 $T$ 时香草隐含偏度的已知行为。我们得出结论：我们的隐含波动率偏度曲线 ${\cal S}(T) \propto a(H) T^{b\cdot (H-1/2)}, \, b = const$ 的行为与粗糙波动率模型并不完全相同，因为 $b \ne 1$，但对所有实际 $T$ 值似乎已足够接近。因此，所提马尔可夫模型能够复现相应粗糙波动率模型的若干性质。对前向起步期权也给出了类似分析，我们发现当 $T \to s$ 时，对任意 $s > t$ 前向起步期权的 ATM 隐含偏度可能发散。然而，该结果与时变 [E. Alos, D.G. Lorite, 2021] 中马尔可夫近似无法捕捉此行为的观察相矛盾，故何种更接近现实仍存疑问。