多项式环的小子代数与Stillman猜想

我们证明，在任意特征代数闭域$K$上的$N$变量多项式环$R$中，任意由至多$n$个次数至多为$d$的齐次形式在$K$上生成的$R$的$K$-子代数，都包含于由$B \leq {}^\eta\mathcal{B}(n,d)$个次数$\leq d$的齐次形式$G_1,..., G_B$生成的$R$的$K$-子代数中，其中${}^\eta\mathcal{B}(n,d)$不依赖于$N$或$K$，且这些形式构成正则序列，并且对于任意由位于$G_1, ..., G_B$的$K$-张成空间中的齐次形式生成的理想$J$，环$R/J$满足Serre条件$R_\eta$。这些结果蕴含了M. Stillman的一个猜想，即断言$R$的由次数$\leq d$的齐次形式生成的$n$-生成理想$I$的射影维数界与$N$无关。我们还证明了$I$存在一个准素分解，使得该分解的所有数值不变量（例如准素分支的数量以及出现的所有素理想与准素理想的生成元的次数和数量）的界均与$N$无关。