Skand 理论及其应用：非良基集合的新视角

本文引入了一种称为 skand 的新数学对象，其通常表现为非良基集合。有限长度的 skand 是普通的良基集合，而极长长度（如所有序数的 hyper-skand）的 skand 则是超类。我们还考虑了自相似 skand，它们阐明了集合的自反性，即关系"X 是 X 的成员"的含义；特别是，被视为非良基集合的自相似 skand 总是自反的，但反之则不然。自相似 skand 的存在直接表明罗素著名的悖论根本不是一个悖论。本文并非借助罗素悖论（传统给出的形式是不正确的），而是通过一种源于康托尔的关于罗素"集合"R（即所有不属于自身的集合的类）的最大性（普遍性）的简单方法来证明其不一致性，该方法也可应用于其他集合论悖论。此外，还定义了广义 skand，并展示了对所有序数的广义 skand-类的新视角。特别是，定义了最后一个（类）序数，称为 eschaton。Skand 理论的另一个应用是描述了康托尔意义下的所有$\epsilon$-数。另一项应用是关于任意幂的一维连续统的广义理论，构建了作为任意幂非阿基米德直线的广义实数，并引入了绝对连续统和绝对直线，它们是离集合类最近的超类。