Covtree 中的 witness 大小

给定集合 $\Gamma$ 中的 $k$ 个无标签的偏序集，每个偏序集的大小为 $n$，我们说偏序集 $Q$ 是 $\Gamma$ 的一个 \emph{witness}，如果 $\Gamma$ 是 $Q$ 中大小为 $n$ 的 downsets 的集合。我们说 $Q$ 是 \emph{minimal witness}，如果它不包含一个本身也是 $\Gamma$ 的 witness 的 proper downset。受量子引力中因果集方法的启发，我们研究 minimal witness 大小作为 $n$ 和 $k$ 函数的上界。我们证明，不存在形式为 $n+k+c$ 的线性上界，其中 $c$ 为任意常数。我们引入 \emph{downsets 的交换图} 作为研究此情景的新工具，并用它证明所有 minimal witness $Q$ 满足界限 $|Q|\leq nk-n$，并且当 $k=3$ 时至少有一个 minimal witness $Q$ 满足界限 $|Q|\leq \frac{3}{2}(n+1)$。