极值纠缠 witness

我们研究 bipartite 量子系统上的极值 entanglement witnesses。我们将 witness 的锥定义为可分密度矩阵集合的对偶，因此当 $\Omega$ 是 witness 且 $\rho$ 是纯积态 $\rho=\psi\psi^{\dagger}$（其中 $\psi=\phi\otimes\chi$）时，$\textrm{Tr}\,\Omega\rho\geq 0$。单位迹的 witness 集合是一个紧凸集，由其极值点定义。期望值 $f(\phi,\chi)=\mathrm{Tr}\,\Omega\rho$ 作为 $\phi$ 和 $\chi$ 的函数是一个非负双二次型。$f(\phi,\chi)$ 的每个零点都对 $f$ 和 $\Omega$ 施加实线性约束。零点处的 Hessian 矩阵必须是非负的。其具有零特征值的特征向量（如果存在）我们称为 Hessian 零点。如果 $f(\phi,\chi)$ 的零点没有 Hessian 零点，则称其为二次零点，否则称为四次零点。如果一个 witness 只有二次零点，我们称其为二次 witness，否则称为四次 witness。我们证明，一个 witness 是极值的，当且仅当没有其他 witness 拥有相同或更大的零点和 Hessian 零点集合。二次极值 witness 具有取决于维度的最小数量的孤立零点。如果一个 witness 不是极值的，由其零点和 Hessian 零点定义的约束将确定搜索具有更多零点或 Hessian 零点的 witness 的所有方向。在随机方向上进行有限次迭代搜索可得到一个极值 witness，该 witness 通常是具有最小零点数量的二次 witness。我们讨论了一些与极值 witness 相关的主题，特别是 witness 对偶集与可分态的面结构之间的关系。我们讨论了 witness 的极值性与最优性之间的关系，以及最优 witness 的结构物理近似 (SPA) 的可分性猜想。我们还讨论了如何将复 Hilbert 空间上的 entanglement witnesses 视为实 Hilbert 空间上的 witnesses。