区间上的六阶抛物型方程：具有弹性阻力的有限薄膜的本征函数展开、格林函数与中间渐近

一类“抛物型”线性六阶偏微分方程（PDE）描述了当偏离平衡膜高较小时，具有弹性弯曲阻力表面下方的薄液膜动力学。在有限域上，对应于封闭槽中薄膜的边界条件，相关的六阶本征值问题是自伴的，且本征函数构成完备的正交集。利用这些本征函数，我们推导了有限区间上控制六阶 PDE 的格林函数，并将其与已知的无限线解进行比较。此外，我们提出了一种基于构造的六阶本征函数及其导数展开的 Galerkin 谱方法。时间相关展开系数常微分方程组通过标准数值方法求解。该数值方法应用于控制 PDE 的变体，其中包含除六阶导数外的二阶空间导数，这源于作用在薄膜上的重力。在没有重力的情况下，我们展示了薄膜表面初始局部扰动的自相似中间渐近行为，至少直到扰动“感知”到有限边界，并表明推导出的格林函数是此类解的吸引子。在存在重力的情况下，我们利用提出的 Galerkin 数值方法证明，即使对于较大的重力与弯曲比，自相似行为依然持续，尽管持续时间间隔缩短。